4.4 Aplicaciones

Se puede utilizar en el cálculo de estructuras, instalaciones eléctricas, hidráulicas y sanitarias, en cálculos de carreteras, topografía y hasta en diseño de las estructuras, no en todos los casos pero principalmente cuando hay mala toma de datos o haya datos faltantes.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado.

 Tenemos los siguientes 3:

· Interpolación Segmentaría Lineal

· Interpolación Segmentaría Cuadrática

· Interpolación Segmentaría Cúbica

                               

    

4.3 Integración múltiple. 

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

4.2 Integración numérica. 

En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

 

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

y donde el término error corresponde a:

Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].

 

 

Regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida

representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

REGLAS DE SIMPSON:

Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.

A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

·         REGLA DE SIMPSON DE 1/3

 

 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion:

Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:

 

·         REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Asi­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.

 

h=(b-a)/n

La integral total se representa como:

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

reordenando los terminos, se obtiene:

·         REGLA DE SIMPSON DE 3/8.

De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;

para obtener

En donde

h=(b-a)/3.

A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.
 

·         REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la version de 3/8.

No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar.

Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres.

De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo completo

4.1  Diferenciación numérica

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo.

Solución:

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene:

Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada

Considere la ecuación de diferencias centradas (6).

Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.

Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.

Ejercicio: