Se puede utilizar en el cálculo de estructuras, instalaciones eléctricas, hidráulicas y sanitarias, en cálculos de carreteras, topografía y hasta en diseño de las estructuras, no en todos los casos pero principalmente cuando hay mala toma de datos o haya datos faltantes.
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.
En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado.
Tenemos los siguientes 3:
· Interpolación Segmentaría Lineal
· Interpolación Segmentaría Cuadrática
· Interpolación Segmentaría Cúbica
4.3 Integración múltiple.
De la
misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable
definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de
la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de
una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del
plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por
la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral
triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz,
el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y,
z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de
integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico
corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una
integral múltiple es anidando signos de integración en el orden
inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser
calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El
Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre
cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de
integral de más a la derecha:
Es importante destacar que es
imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable
por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
4.2 Integración numérica.
En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
Regla del trapecio compuesta
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida
representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:
REGLAS DE SIMPSON:
Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
· REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:
· REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.
Asi como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
reordenando los terminos, se obtiene:
· REGLA DE SIMPSON DE 3/8.
De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;
para obtener
En donde
h=(b-a)/3.
A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.
· REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la version de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar.
Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo completo
4.1 Diferenciación numérica
Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.
Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.
A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.
Ejemplo.
Solución:
Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),
A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.
Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:
Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada
Considere la ecuación de diferencias centradas (6).
Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.
Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.
Ejercicio:
jueves, 27 de febrero de 2020
PROCEDIMIENTO
Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).
o también se puede resolver como lo tenemos en la imagen
cuando el numero es negativo el primer numero es uno y los de mas dígitos se convierten en ceros y el resultado que nos da se coloca al final
miércoles, 19 de febrero de 2020
DIAGRAMA
MÉTODOS ITERATIVOS
Trata de resolver un problema (como una ecuación o un
sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución,
empezando desde una estimación inicial.
Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación
cuadrática, por ejemplo:
f(x)
= x2 − x − 2 = 0
Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula
general
Un método iterativo consta de los siguientes pasos.
1. inicia con una solución aproximada (Semilla).
2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir
una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que
permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de concurrencia.
Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que
tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de
ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la
matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que
involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde
los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del
mejor computador disponible.
Ventajas y Desventajas:
Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos
sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la
solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para
obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método
para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo,
cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de
iteraciones es relativamente reducido.
Puntos fijos
atractivos
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x)
= x, y una solución x es un punto fijo atractivo de
la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en
la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn)
para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥
1 convergerá a la solución x.
Sistemas lineales
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos
clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos
estacionarios y los más generales métodos del subespacio de krylov
Métodos
iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema
lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la
medida de error (el residuo), desde
una ecuación de corrección para la que se repite este
proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y
analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase
limitada de matrices.
Métodos
del subespacio de Krylov
Los métodos del subespacio de Krylov forman una base
ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial
(la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman
minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta
clase es el método del gradiente conjugado. Otros métodos son el
método del residuo mínimo generalizado y
el método del gradiente biconjugado.
Convergencia
Dado que estos métodos forman una base, el método converge
en N iteraciones, donde N es el tamaño del
sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no
se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y
el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis
de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función
del espectro del operador.
Pre condicionante
El operador aproximativo que aparece en los métodos
iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del
subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador
original a un operador mejor condicionado. La construcción de
precondicionadores es un área de investigación muy extensa.
El método Jacobi es el método iterativo para resolver
sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica
sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas
incógnitas como ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para
ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la
incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + Bx (1)
Donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bxi (2)
jueves, 30 de enero de 2020
MAPA MENTAL DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
martes, 28 de enero de 2020
IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas también es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para simular aproximaciones de solución a problemas en análisis matemático.
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.
También son metodologías que utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se realizan a partir de un problema planteado para resolver de forma aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas, que analíticamente resultan muy difíciles de resolver, las cuales es posibles formulas problemas con operaciones aritméticas.
