MÉTODOS ITERATIVOS
Trata de resolver un problema (como una ecuación o un
sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución,
empezando desde una estimación inicial.
Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación
cuadrática, por ejemplo:
f(x)
= x2 − x − 2 = 0
Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula
general
Un método iterativo consta de los siguientes pasos.
1. inicia con una solución aproximada (Semilla).
2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir
una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que
permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de concurrencia.
Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que
tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de
ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la
matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que
involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde
los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del
mejor computador disponible.
Ventajas y Desventajas:
Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos
sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la
solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para
obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método
para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo,
cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de
iteraciones es relativamente reducido.
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x)
= x, y una solución x es un punto fijo atractivo de
la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en
la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn)
para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥
1 convergerá a la solución x.
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos
clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos
estacionarios y los más generales métodos del subespacio de krylov
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema
lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la
medida de error (el residuo), desde
una ecuación de corrección para la que se repite este
proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y
analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase
limitada de matrices.
Los métodos del subespacio de Krylov forman una base
ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial
(la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman
minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta
clase es el método del gradiente conjugado. Otros métodos son el
método del residuo mínimo generalizado y
el método del gradiente biconjugado.
Dado que estos métodos forman una base, el método converge
en N iteraciones, donde N es el tamaño del
sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no
se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y
el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis
de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función
del espectro del operador.
El operador aproximativo que aparece en los métodos
iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del
subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador
original a un operador mejor condicionado. La construcción de
precondicionadores es un área de investigación muy extensa.
El método Jacobi es el método iterativo para resolver
sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica
sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas
incógnitas como ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para
ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la
incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + Bx (1)
Donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bxi (2)
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